Matematyk w szponach hazardu

W cenie od kilku do kilkuset złotych można kupić w internecie "absolutnie pewne systemy" gwarantujące wygraną w Lotto, Multilotka czy zakładach sportowych. U nas te same systemy gratis. A w pakiecie - analiza: na czym polega ten cud?

Wbrew temu, w co może od czasu do czasu chcielibyśmy wierzyć, kupując los, loterie i kasyna nie są instytucjami charytatywnymi. Służą temu, by zarabiali ich właściciele, a nie użytkownicy. Oferują chwile emocji i zabawy skalkulowanej tak, aby stanowić dla kasyna źródło dochodu, nigdy straty.

Klient zawsze traci

Sposobem, w jaki kasyno najefektywniej zarabia, jest obrót pieniędzmi - im więcej ludzi przewija się przez dom gry, tym interes lepszy. Pieniądze przegrywających "przepływają" do wygrywających, ale pewna ich część pozostaje w kasie organizatora zabawy. Ta część zależy od rodzaju gry i stanowi procent od przepływającego kapitału, a w fachowej terminologii funkcjonuje pod pojęciem przewagi kasyna (ang. house advantage). Matematycy mówią, że gry oferowane w kasynach mają ujemną wartość oczekiwaną wygranej. Nie wierzmy więc w cuda (czytaj: cudowne systemy). Grając dostatecznie długo, zawsze będziemy "do tyłu".

Wyjątkiem jest... black jack. Tutaj, stosując odpowiednie systemy, naprawdę możemy zapewnić sobie nieznaczną statystyczną przewagę nad kasynem. Oznacza to, że przy okazji dobrej zabawy zwiększymy kapitał początkowy o kilka procent. Kliknij, żeby dowiedzieć się, na czym polega gra w black jacka (zwanego też popularnie "oczkiem") i gdzie znaleźć system.

No dobrze - spyta ktoś - ale w takim wypadku, dlaczego kasyno promuje grę, na której mogłoby tracić? Chodzi o to, że wszystkie blackjackowe systemy wymagają niewiarygodnie wyćwiczonej pamięci, gdyż przy stole do gry nie wolno robić notatek i aby skutecznie korzystać z systemu, trzeba umieć jednocześnie zapamiętywać wszystkie schodzące z talii karty i przeprowadzać niekiedy bardzo skomplikowane rozumowanie odnośnie aktualnych i przyszłych kwot obstawiania. Hazardzistów grających tą techniką przedstawiono w znakomitym filmie "Rain Man" w reżyserii Barry'ego Levinsona ze znakomitą rolą Dustina Hoffmana. Tylko niezwykłe zdolności matematyczne i pamięciowe głównego bohatera - autystycznego sawanty - pozwoliły mu rozbić bank niejednego domu gry.

Czerwone i czarne

Spójrzmy teraz oczami matematyka na najpopularniejszą grę spotykaną w kasynach - ruletkę. Obrosła ona jak żadna inna wieloma mitami i legendami oraz cudownymi systemami, które miały szybko przynieść ich odkrywcom fortunę.

Załóżmy, że decydujemy się na najprostszy i najpopularniejszy sposób gry. Obstawiamy kolor czarny (albo czerwony). Prawdopodobieństwo, że kulka zatrzyma się na czarnym, wynosi 18/37 - jest bardzo bliskie 0,5. Stawiamy jeden żeton (załóżmy dla uproszczenia, że jest on wart złotówkę) na określony kolor. Jeżeli trafimy, zyskujemy jeden żeton, jeśli nie - tracimy obstawienie. Gra nie jest sprawiedliwa (tak jak np. rzut monetą), a wartość oczekiwana wygranej jest mniejsza od zera i wynosi -0,0135. Oznacza to, że grając odpowiednio długo, stracimy na rzecz kasyna średnio 1,35 proc. stawianej puli.

Kasyno zapewnia sobie przewagę poprzez wprowadzenie pola zero (prawdopodobieństwo jego wypadnięcia wynosi 1/37), które gra na jego korzyść. Jeżeli obstawialibyśmy tuziny lub kolumny, wyszlibyśmy na tym jeszcze gorzej. Wartość oczekiwana naszej gry wynosiłaby -0,027, czyli tracilibyśmy średnio na rzecz kasyna aż ok. 2,7 proc. naszych pieniędzy.

System Martingale

Czy rzeczywiście z kasynem nie da się wygrać? A gdyby tak postawić jeden żeton na czerwone, a potem podwajać stawkę w razie przegranej, obstawiając ciągle ten kolor? Jeśli czerwone wypadnie już za pierwszym razem, wygramy jeden żeton. Jeśli za drugim - w pierwszej grze stracimy co prawda jeden, ale w drugiej wygramy dwa, więc w sumie będziemy żeton do przodu. Jeśli i w drugiej grze nie dopisze nam szczęście, stawiamy na czerwone cztery żetony. W przypadku wygranej zysk to cztery żetony minus trzy żetony straty w poprzednich grach - zostaje na czysto jeden żeton. Wniosek jest prosty - mając nieskończenie wiele czasu (i nieskończenie wiele pieniędzy), w końcu zawsze wyrwiemy od kasyna wygraną.

Gra tą metodą jest jednak korzystna tylko z pozoru. Wystarczy zauważyć, jak szybko rośnie kwota obstawiania. Przy "złym losie", jeśli nie trafimy 10 razy z rzędu, za 11. razem musimy wyłożyć na stół 1024 żetony. Może się więc zdarzyć, że kwota, którą chcemy postawić, przekroczy limit stołu gry. Jest on wprowadzany właśnie po to, by ktoś dysponujący nieograniczonymi niemal funduszami nie mógł grać w "nieskończoność".

Systemy oparte na zasadzie podwajania czy zwielokratniania stawek zwane są systemami Martingale.

Kliknij, żeby znaleźć matematyczne podstawy wyprowadzenia bazującego na tej zasadzie systemu do gry w Multilotka określanego jako "stuprocentowego pewniaka". Warto pamiętać, że gra tym systemem ciągle ma ujemną wartość oczekiwaną wygranej, wobec czego korzystna jest dla organizatora. Mimo to systemy takiego obstawiania cieszą się bardzo dużą popularnością wśród graczy, a także - co już nie powinno dziwić - są promowane przez organizatorów gier.

Zarobić na obiad

Kowalski dostał 2047 zł premii, za które chce kupić wymarzony telewizor. Przedtem jednak postanawia dla uczczenia dnia zjeść dobry obiad. Żeby nie uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, decyduje się wstąpić do kasyna i, grając systemem Martingale, zarobić ok. 30 zł na posiłek.

Aby mu się to udało, musiałby wygrać 30 razy, zgodnie z zasadą podwajając każdorazowo stawianą kwotę (za każdym cyklem zarabiałby jeden żeton). Jeżeli obstawia nieustannie kolor czerwony, może obawiać się tylko jednego - jeśli w czasie 30 cykli gry 11 razy z rzędu wypadnie kolor czarny - będzie bankrutem. W pierwszych 10 zakładach straci w sumie 1023 zł, a w kolejnym - 11. - będzie zmuszony postawić i przegra ostatnie1024 zł. Bezpieczeństwo tej strategii gry wynosi blisko 98 proc. To sporo, ale proszę pamiętać, że istnieje około 2 proc. realnej szansy utraty wszystkich posiadanych pieniędzy. Jeśli zestawimy to z możliwością zarobku 30 zł, to taki sposób zarobienia na obiad nie wszystkim może wydawać się rozsądny.

Farba daje szansę

Istnieją jednak sposoby, które pozwalają dodatkowo zwiększyć szansę wygranej. Można to osiągnąć, badając reguły rządzące konkretną grą. Po długiej obserwacji można próbować oszacować prędkość kuli rzucanej przez krupiera. Dwóch Serbów i Węgierka wygrali ostatnio w londyńskim kasynie Ritz 1,2 mln funtów, używając do szacowania prędkości kulki laserowego skanera ukrytego w telefonie. Wygraną będą mogli zatrzymać, bo... nie znaleziono paragrafu, z którego można by ich oskarżyć. Z kolei Hugo Steinhaus zalecał obstawianie w Lotku liczb leżących

"na skraju" kuponu, na przykład 1, 2, 3, 4, 5, 6. Okazuje się bowiem, że ludzie traktują kupon jak tarczę i, obstawiając, celują w jej środek. Wybierając kombinację "niepopularną", mamy co prawda taką samą szansę trafienia, ale nie będziemy musieli się z nikim dzielić wygraną w razie sukcesu. 30 marca 1994 roku w Dużym Lotku wylosowano następujące numery: 11, 16, 23, 30, 35 i 41 (proszę spróbować zakreślić te liczby na kuponie - otrzymamy "ładny", symetryczny wzorek). Po najwyższą wygraną zgłosiło się do Totalizatora kilkadziesiąt osób...

Grając va banque

Kowalski z Kwiatkowskim grają lekko niesymetryczną monetą - orzeł wypada statystycznie w 52 przypadkach na 100. Kowalski ma 100 zł i obstawia orła, stawiając po złotówce na każdy zakład.

Po 1000 rozgrywek, statystycznie rzecz biorąc, Kowalski wygra średnio 520 razy, a przegra 480. Czyli zarobi 40 zł. A gdyby chciał zgarnąć więcej?

Może zaryzykować, stawiając wszystko, co ma. Po pięciu kolejnych korzystnych dla niego grach miałby 3200 zł. Zyskałby 3100 zł netto. Zarobek całkiem godziwy, ale i ryzyko bankructwa ogromne - szansa wygrania pięciu gier z rzędu wynosi bowiem mniej niż 4 proc.

Stawianie wszystkiego na jedną kartę to sposób dla desperatów. Z drugiej strony mozolne powtarzanie tej samej gry tysiąc razy w nadziei na 40-złotowy zarobek może wystawić na szwank cierpliwość nawet najwytrwalszego drobnego ciułacza. Czy istnieje złoty środek?

Kowalski mógłby przecież obstawiać więcej niż złotówkę, a mniej niż 100 zł, za każdym razem zostawiając sobie na wszelki wypadek część posiadanej kwoty, by oddalić widmo całkowitego bankructwa i dać sobie szansę odegrania się w następnej kolejce.

Jeżeli ułamek ryzykowanego majątku byłby wysoki (np. 60 proc.), to o końcowym bilansie decydowałyby wyniki początkowych gier. Jeśli na początku przeważałyby przegrane, straciłby znaczącą część kapitału, której nie zdążyłby w dalszej części gry odrobić. Zakończyłby więc grę z mniejszą ilością pieniędzy, niż ją zaczynał.

Z kolei przeznaczanie na kolejne gry małego procentu aktualnie posiadanego przez gracza kapitału (np. 2 proc.) byłoby strategią bezpieczną, ale takie asekuranctwo nie pozwoliłoby mu wygrać żadnej znaczącej kwoty.

Powstaje pytanie: jak obstawiać (jaki stały procent posiadanego kapitału przeznaczać na kolejne gry), aby zmaksymalizować zysk?

Kryterium Kelly'ego

Odpowiedzi na to pytanie po raz pierwszy udzielił

J.L. Kelly, opierając się na matematycznej teorii informacji i jej zastosowaniu w telekomunikacji. Podał on wzór pozwalający obliczyć optymalny procent posiadanej kwoty, którą należy przeznaczać na kolejne gry. Procent ten określa formuła:



W powyższym wzorze p jest prawdopodobieństwem sukcesu (gra musi być korzystna - czyli p>0,5), k - kurs - wypłata netto w grze w przypadku sukcesu.

W rozgrywce Kowalski kontra Kwiatkowski optymalna strategia dla Kowalskiego wyliczona z formuły Kelly'ego zakłada obstawianie 4 proc. posiadanej puli

i pozwala zarobić w ciągu 1000 kolejek 122,6 proc. kwoty wyjściowej - czyli w przypadku Kowalskiego 122 zł 60 gr (kliknij, żeby obejrzeć dokładne rachunki). Wyliczona ze wzoru strategia sprawdza się tylko w przypadkach posiadania w grze statystycznie niewielkiej przewagi. Może być też stosowana w przypadku gry giełdowej - przewaga, jaką mamy wówczas po swojej stronie, to stosowna wiedza ekonomiczna.

Zarobić na wyścigach

Wzór J.L. Kelly'ego sprawdza się też w sportowych grach bukmacherskich. Również w tym przypadku proponowane stawki na określone zdarzenia wyliczone są w specyficzny, korzystny dla bukmachera sposób - przewagę może dać nam tylko doskonała znajomość realiów sportowych rządzących daną dyscypliną.

Najwyższe stawki proponują zazwyczaj bukmacherzy internetowi ze względu na niskie koszty prowadzenia działalności. Ich firmy z reguły zarejestrowane są w krajach, w których ta forma działalności gospodarczej zwolniona jest z podatku (np. Malta), więc grający przy zawieraniu zakładu również jest z niego zwolniony.

Jaki jest mechanizm ustalania stawek? Załóżmy, że grają drużyny A i B. Jeśli bukmacher uważa, że drużyna A jest faworytem, proponuje zakład na jej zwycięstwo z kursem wypłaty np. 1,95 (za każdą postawioną na A złotówkę wypłata wynosi 1,95 zł, czyli zysk netto 0,95 zł). W ten sam sposób szacuje szanse na zwycięstwo drużyny B (jako że uważa ją za słabszą, oferuje wyższe przebicie w zakładzie - np. 3,55 za zwycięstwo i 3,2 za remis).

Dokładne wartości prawdopodobieństw wyników nie są oczywiście znane bukmacherowi ani jego klientom, są one szacowane na podstawie analizy "rynku zdarzeń sportowych". Brana jest pod uwagę aktualna dyspozycja drużyny, którą najlepiej odzwierciedlają osiągane przez nią ostatnio wyniki.

Żeby gra była sprawiedliwa (wartość oczekiwana wygranej wynosiła zero), oferowane kursy powinny być równe odwrotności prawdopodobieństwa oszacowanego wyniku rozgrywki. Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo, że Legia wygra z Wisłą, jest równe 1/4, proponowany kurs wypłaty wyniósłby 4 do 1. Jeśli szacujemy szanse wygranej Wisły na 3/4, kurs wypłaty na to zdarzenie powinien być równy 4/3, czyli ok. 1,33 do 1. W praktyce jednak tak nie jest. Bukmacher prowadzi działalność, aby zarobić, i ustala kursy na poziomie nieznacznie niższym, tzn. K1<1/P1, K2<1/P2 i K3<1/P3. (K1 jest kursem wypłat zdarzenia o prawdopodobieństwie P1 itd.). Wartość Z=1/K1+1/K2+1/K3 jest większa od jedynki i określa, ile niezależnie od wyniku rozgrywek zarobi bukmacher. Im Z jest większa od 1, tym bukmacher bardziej "zachłanny".

Porównując kursy u kilkunastu, a nawet kilkudziesięciu bukmacherów, możemy znaleźć takie zakłady, dla których wartość Z będzie mniejsza od jedynki (oczywiście nigdy nie u tego samego bukmachera). W takim przypadku umiejętne obstawienie przeciwnych rozstrzygnięć tego samego zdarzenia sportowego u różnych bukmacherów - bez względu na wynik - przyniesie nam wymierny pewny zysk. Wyszukiwaniem takich kursów (tzw. sytuacji arbitrażowych), ich analizą i porównywaniem zajmują się różne tematyczne serwisy internetowe (np. www.betbrain.com [http://www.betbrain.com] .com oraz www.noriskbetting.com [http://www.noriskbetting.com] ).

Porównajmy teraz kursy u różnych bukmacherów. Przykład jest całkowicie fikcyjny i wymyślony przez autora w celu zobrazowania rozważanego zagadnienia. Uwaga: trzeba będzie wykonać kilka rachunków. Dla osób nieprzyzwyczajonych może to być wyczerpujące - ale czego się w końcu nie robi dla pieniędzy...

Andrzej Gołota spotyka się w finale meczu bokserskiego o mistrzostwo świata z Mikiem Tysonem.

Bukmacher Expert ustala kurs za zwycięstwo Gołoty jako K1a=2,50, a za zwycięstwo Tysona K2a=1,50. Otrzymujemy Za=1/K1a+1/K2a=1,066, co oznacza, że średnio 6,6 proc. obstawianych kwot ląduje w kieszeni przyjmującego zakłady.

Inny bukmacher - Velifex - uważa, że Gołota ma trochę większe szanse na zwycięstwo, więc ustala kurs na K1b=2,00 oraz K2b=1,73 w przypadku zwycięstwa Tysona.

Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy Zb=1/K1b+1/K2b=1,078. (Ten bukmacher zgarnia więcej - aż 7,8 proc.).

Obliczmy wartość Z w przypadku obstawiania zwycięstwa Andrzeja Gołoty w Expercie, a zwycięstwa Mike'a Tysona w Velifeksie. Otrzymujemy Z=1/K1a+1/K2b=0,978. Jest to wartość mniejsza od jedynki! Widać stąd, że taki "mieszany" zakład, o "zachłanności" mniejszej od jedynki, gwarantuje pewny zysk.

Załóżmy teraz, że chcielibyśmy wygrać 100 zł. Jeśli przewidujemy zwycięstwo Gołoty, warto obstawić je tam, gdzie dają za nie jak najwięcej, czyli u Experta. Jako że kurs wynosi 2,50, aby wypłacono nam 100 zł, trzeba zagrać za 40 zł. Z kolei wygraną Tysona obstawmy w Velifeksie. Przy oferowanym tu kursie 1,73, aby wygrać 100 zł, należy postawić 57,80 zł. W ten sposób, inwestując 97,80 (40+57,80), zarabiamy 100 zł niezależnie od wyniku starcia Gołota - Tyson! Zysk netto jest pewny i wynosi 2,20 zł. Jeżeli zainwestujemy kwotę 10-krotnie większą, to również 10-krotnie wzrośnie nasz zysk netto - do poziomu 22 zł.

Wyszukanie różnic w stawkach zakładów odpłatnie oferują wspomniane serwisy - informacja, jak wiadomo, kosztuje - gwarantując zysk rzędu blisko 5 proc., a czasami nawet większy (do 14 proc.). W żadnym banku czy funduszu pewnego zysku tej wysokości tak szybko nie osiągniemy. Wadą i niedogodnością takiego rozwiązania jest to, że należałoby mieć pozakładane konta u różnych bukmacherów (a jest ich na całym świecie bardzo wielu) z odpowiednimi kwotami, które umożliwiałyby grę na rozsądnym poziomie.

Ryzyko dobrze określone

Jaki morał płynie z powyższych rozważań? Ano taki, że wprawdzie systemy istnieją (i działają!), ale jednak nie likwidują - bo i nie mogą - przewagi kasyna nad graczem. Ta jest bowiem wpisana w samą strukturę gry. Kasyno nie chce "oskubywać" gości (gdyby tak było, rychło straciłoby wszystkich klientów), zarabia tylko na jak największym obrocie, musi jednak zapewnić sobie barierę bezpieczeństwa, chroniąc się przed bankructwem. Temu i wyłącznie temu służy przewaga.

Co zatem daje system? Minimalizację ryzyka. Techniki martingale'owe oparte są na przekonaniu, że zły los kiedyś się w końcu odwraca. I że skoro do tej pory miało się pecha, z tym większą odwagą można podnieść stawkę i w następnej kolejce postawić więcej. Oczywiście cudów nie ma. Bo wprawdzie z każdą kolejką prawdopodobieństwo, że tym razem w końcu karta się odwróci, jest większe, ale też ryzykujemy coraz wyższą stawkę... W końcu, jeśli mamy kosmicznego pecha, możemy przegrywać nawet kilkadziesiąt razy z rzędu. To oznacza, że może nas spotkać klapa i ostateczne bankructwo, czyli "piękna katastrofa" - jak mawiał Zorba.

ŹRÓDŁO: Wiedza i Zycie