Pescar z tego co pamiętam, a niestety już mało pamiętam, zacząłem rozwiązywać ten układ metodą eliminacji Gaussa, wtedy właśnie zapisujemy macierz rozszerzoną (przez Ciebie nazwana "uzupełnioną o wyrazy wolne"). Ponieważ liczba niewiadomych jest równa liczbie równań dany układ i do tego wyznacznik macierzy głównej musi być różny od zera.
Więc zaczynasz całą zabawę od wyliczenia wyznacznika macierzy głównej (tą którą zapisałeś po "robię macierz"). Jeżeli jest ona różna od zera stosujesz metodę Cramera (wzór Cramera). W podanym przykładzie abyś mógł obliczyć "x" musisz policzyć wyznacznik macierzy, która powstanie przez zastąpienie kolumny "x" (po chłopsku mówiąc kolumny numer 1) kolumną wyrazów wolnych. Następnie otrzymany wyznacznik dzielisz przez wyznacznik macierzy głównej i otrzymujesz wartość niewiadomej "x". Analogicznie postępujesz w przypadku pozostałych niewiadomych: y,z,t. Przy czym w przypadku "y" zastępujesz kolumnę numer 2 kolumną wyrazów wolnych, itd. z pozostałymi.
Aby była jasność kolego do obliczenia wyznacznika macierzy 4x4 możesz stosować np. wzór Laplace`a po uprzednim uproszczeniu macierzy za pomocą operacji elementarnych (to będziesz miał w książce od matmy albo w necie gdzieś).
Mam nadzieję, że napisałem w miarę jasno
Powodzenia!